Question

【题目】如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点.

（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

（2）解：设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D＝45°，

所以A1D＝CD＝ AB＝ ，在Rt△AA1D中，AA1＝ = = ，所以FC＝ AA1＝ ，故三棱锥F－AEC的体积V＝

S△AEC×FC＝ .

【解析】(1)根据直三棱柱的性质得出AE⊥BB1，再利用等边三角形的性质得出AE⊥BC再借助面面垂直的判定定理即可得证。(2)根据已知条件计算出直三棱柱的棱长再借助三棱锥的体积公式代入数值求出结果即可。