Question

【题目】已知函数f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若不等式f（x）+1≤4a﹣5×2a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ，

则当x≤﹣4时，不成立；当﹣4＜x＜1时，2x+3＞3，解得0＜x＜1；

当x≥1时，5＞3成立，故原不等式的解集为{x|x＞0}

（2）解：根据题意可得 的最小值为﹣5，

由即f（x）≤4a﹣5×2a﹣1有解，∴4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，即4a﹣5×2a+4≥0，即2a≥4或2a≤1，∴a≥2或a≤0，

故实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）

【解析】（1）由题意可得 ，分类讨论，求得不等式f（x）＞3的解集．（2）根据题意可得 的最小值为﹣5，可得4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，由此求得实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．