Question

【题目】若椭圆C1： 的离心率等于 ，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点在椭圆C1的顶点上．
（1）求抛物线C2的方程；
（2）求过点M（﹣1，0）的直线l与抛物线C2交E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2 ， 当l1⊥l2时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知椭圆的长半轴为2，半焦距

由离心率等于

∴b2=1∴椭圆的上顶点（0，1）∴抛物线的焦点为（0，1）

∴抛物线的方程为x2=4y

（2）解：由已知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x+1），E（x1，y1），F（x2，y2），

，∴ ，

∴切线l1，l2的斜率分别为

当l1⊥l2时， ，即x1x2=﹣4

由 得：x2﹣4kx﹣4k=0

∴△=（4k）2﹣4×（﹣4k）＞0解得k＜﹣1或k＞0①

∴x1x2=﹣4k=﹣4，即：k=1

此时k=1满足①

∴直线l的方程为x﹣y+1=0

【解析】（1）根据长半轴是2求出a的值，再表示出半焦距c，根据离心率的值求出b的值，从而可得到抛物线的焦点坐标，得到抛物线的标准方程．（2）先根据题意设出直线l的方程和点E、F的坐标，然后对抛物线方程进行求导运算，进而得到切线l1 ， l2的斜率，根据l1⊥l2可得到x1x2的值，再联立直线l与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可表示出两根之积，再结合x1x2的值可确定k的值，最后将k的值代入到直线方程即可得到答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解一般式方程(直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）)．