Question

（2009•西安二模）已知函数f(x)=2

3

sin(x-

π

6

)cos(x-

π

6

)-1+2cos2(x-

π

6

)
（1）求f（x）的最大值及相应的x的取值集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x-

π

6

），显然函数f（x）的最大值为2，此时 2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，由此求得x的集合．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范围，即可得到函数的增区间．

解答：解：（1）函数f(x)=2

3

sin(x-

π

6

)cos(x-

π

6

)-1+2cos2(x-

π

6

)=

3

sin（2x-

π

3

）+cos（2x-

π

3

）=2sin（2x-

π

3

+

π

6

）=2sin（2x-

π

6

）．
显然函数f（x）的最大值为2，此时，sin（2x-

π

6

）=1，可得 2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z．
解得 x的集合为{x|x=kπ+

π

3

，k∈z}．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

6

≤2x-

π

6

≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．