Question

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，已知，且对于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），记，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵对于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差，
∴2．
整理得：．
∵a₁≠0，∴，2+2q+2q²=2+q．
∴2q²+q=0，又q≠0，∴q=．
又，
把q=代入后可得．
所以，；
（Ⅱ）∵b_n=n，，∴，
∴．
．
∴=
∴．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，
则（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n-1]对于n≥2恒成立，
也就是（n-1）²≤m（n-1）•（2ⁿ⁺¹-1）对于n≥2恒成立，
∴m≥对于n≥2恒成立，
令，
∵=
∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．
∴m．
所以，（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．
分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差得2S₃=S₁+S₂，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n和已知b_n=n代入整理，然后利用错位相减法求T_n，把T_n代入（n-1）²≤m（T_n-n-1）后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，考查了数列的函数特性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答此题的关键在于判断分离变量后的函数的单调性，利用了比较大小的基本方法-作差法．
此题属中高档题．