Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明CD⊥AE；
（2）证明PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的正切值．（本小题理科学生做，文科学生不做）

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质与判定，证明CD⊥平面PAC，即可得到结论；
（2）利用AB⊥平面PAD，证明AB⊥PD，利用AE⊥平面PCD，证明AE⊥PD，再利用线面垂直的判定即可得到结论；
（3）过E点作EM⊥PD于M点，连接AM，可得∠AME是二面角A-PD-C的平面角，从而可求二面角A-PD-C的正切值

解答：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
又AC⊥CD，AC∩PA=A
∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴CD⊥AE                                        
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB
又AD⊥AB，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形
∴AC=AB，∴PA=AC
∵E是PC中点，∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C，∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD
又AB⊥PD，AB∩AE=A，
∴PD⊥平面ABE                           
（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连接AM

由（2）知AE⊥平面PCD，∴AM⊥PD，∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角
设AC=a，则

AD= 2 3 a

∵PA=a，∴PD=

7 3

a，∴AM=

PA•AD

PD

=

2

7

a
在Rt△AEM中，AE=

2

2

a，EM=

AM2-AE2

=

1 14

a
∴tan∠AME=

AE

EM

=

2 2 a

1 14 a

=

1 2 ×14

=

7

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．