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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证:平面A1B1C1⊥平面BB1D1D;
(2)求三棱锥B1-A1C1B的体积;
(3)求异面直线BC1与AA1所成角的大小.

证:(1)正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面A1B1C1D1
∵A1C1?平面-A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1即A1C1⊥BB1
又∵A1C1⊥D1B1,D1B1∩BB1=B 1,∴A1C1⊥平面BB1D1D,
∵A1C1?平面A1B1C1,平面A1B1C1⊥平面BB1D1D.
(2)三棱锥B1-A1C1B的体积转化为:
==
(3)∵A1A∥B1B,∴∠BB1C1就是异面直线BC1与AA1所成角.
易知△BB1C1为等腰三角形,∴∠BB1C1=45°.
即异面直线BC1与AA1所成角的大小为45°.
分析:(1)通过证明A1C1⊥BB1,A1C1⊥D1B1,D1B1∩BB1=B 1,即可证明A1C1⊥平面BB1D1D.然后证明平面A1B1C1⊥平面BB1D1D;
(2)三棱锥B1-A1C1B的体积转化为求解即可;
(3)通过A1A∥B1B说明异面直线BC1与AA1所成角就是∠BB1C1,然后求解即可.
点评:本题考查直线与平面的垂直,异面直线所成的角的求法,几何体的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力.
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13
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