分析 由导数与函数单调性的关系可将条件转化为:f′(x)=ex-2ax≥0恒成立,再对x分类讨论并分离出常数a,分别利用导数求出函数的单调区间、函数的最值,从而可求出a的取值范围.
解答 解:要使函数f(x)为R上的单调递增函数,则f′(x)=ex-2ax≥0恒成立,
①当x=0时,f′(x)=1≥0恒成立,a∈R;
②当x>0时,2a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$,设g(x)=$\frac{{e}^{x}}{x}$,则$g′(x)=\frac{{e}^{x}(x-1)}{{x}^{2}}$,
由g′(x)=0得x=1,
当x>1时,g′(x)>0,此时函数单调递增,
当x<1时,g′(x)<0,此时函数单调递减.
∴g(x)min=g(1)=e,∴a≤$\frac{e}{2}$;
③当x<0时,2a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$,
∵$\frac{{e}^{x}}{x}$<0,∴2a≥0,则a≥0,
综上可得,a的取值范围是$[{0,\frac{e}{2}}]$,
故答案为:$[{0,\frac{e}{2}}]$.
点评 本题考查导数与函数的单调性的关系,以及恒成立问题转化为求函数的最值问题,考查分离常数法,分类讨论思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2008 | B. | 2014 | C. | 2012 | D. | 2013 |
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x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
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A. | (-∞,-1] | B. | (-1,$\frac{1}{2}$) | C. | [-1,$\frac{1}{2}$) | D. | (0,$\frac{1}{2}$) |
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A. | 4 | B. | 5 | C. | 6 | D. | 7 |
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A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | -$\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{3}{5}$i |
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