Question

20．已知函数f（x）=e^x-ax²（a∈R），若函数f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是$[{0，\frac{e}{2}}]$．

Answer 1

分析 由导数与函数单调性的关系可将条件转化为：f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，再对x分类讨论并分离出常数a，分别利用导数求出函数的单调区间、函数的最值，从而可求出a的取值范围．

解答 解：要使函数f（x）为R上的单调递增函数，则f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
①当x=0时，f′（x）=1≥0恒成立，a∈R；
②当x＞0时，2a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则$g′（x）=\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0得x=1，
当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，
当x＜1时，g′（x）＜0，此时函数单调递减．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤$\frac{e}{2}$；
③当x＜0时，2a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∵$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0，∴2a≥0，则a≥0，
综上可得，a的取值范围是$[{0，\frac{e}{2}}]$，
故答案为：$[{0，\frac{e}{2}}]$．

点评 本题考查导数与函数的单调性的关系，以及恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查分离常数法，分类讨论思想，属于中档题．