Question

15．已知函数f（x）=x²+2ax+1，h（x）=2x+2a．
（1）当a＞1时，解关于x的方程f（x）=|h（x）|；
（2）设函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥h（x）}\\{h（x），f（x）＜h（x）}\end{array}\right.$，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=|h（x）|可得|x+a|=1+a或|x+a|=1-a，进而得到结论；
（2）由f（x）-h（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≥h（x）\\ h（x），f（x）＜h（x）\end{array}\right.$，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈[2，4]时的最小值．

解答 解：（1）因为函数f（x）=x²+2ax+1，h（x）=2x+2a，f（x）=|h（x）|，
所以x²+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． 
当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．
（2）因为f（x）-h（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≥h（x）\\ h（x），f（x）＜h（x）\end{array}\right.$
①若a≥-$\frac{1}{2}$，则x∈[2，4]时，f（x）≥h（x），所以g（x）=h（x）=2x+2a，
从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；            
②若a＜-$\frac{3}{2}$，则x∈[2，4]时，f（x）＜h（x），所以g（x）=f（x）=x²+2ax+1，
当-2≤a＜-$\frac{3}{2}$时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，
当-4＜a＜-2时，g（x）的最小值为g（-a）=1-a²，
当a≤-4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．
③若-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$，则x∈[2，4]时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+2ax+1，x∈[2，1-2a）\\ 2x+2a，x∈[1-2a，4]\end{array}\right.$，
当x∈[2，1-2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；
当x∈[1-2a，4]时，g（x）最小值为g（1-2a）=2-2a．
因为-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，
所以g（x）最小值为4a+5．
综上所述，[g（x）]_min=$\left\{\begin{array}{l}8a+17，a≤-4\\ 1-{a}^{2}，-4＜a＜-2\\ 4a+5，-2≤a＜-\frac{1}{2}\\ 2a+4，a≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．