Question

已知函数f（x）=（1+3x）（2x-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中没有常数项，且4＜n＜8，求展开式中含x⁵的系数．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由题意可得（2x-

1

x2

）ⁿ的展开式中没有常数项，且没有x^-1项．根据（2x-

1

x2

）ⁿ的展开式的通项公式，结合4＜n＜8可得n=7，可得函数f（x）的展开式，从而求得展开式的含x⁵的系数．

解答： 解：函数f（x）=（1+3x）（2x-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中没有常数项，
可得（2x-

1

x2

）ⁿ的展开式中没有常数项，且没有x^-1项．
而（2x-

1

x2

）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•2^n-r•x^n-3r，故n-3r=0无解，且n-3r=-1无解，
结合4＜n＜8可得，n=7，
故函数f（x）=（1+3x）（2x-

1

x2

）⁷=（1+3x）（ 2⁷•x⁷-

C

1 7

•2⁶•x⁴+

C

2 7

•2⁵•x-

C

3 7

•2⁴•x^-2+…），
故展开式中含x⁵的系数为-3×7×64=-1344．

点评：本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于中档题．