Question

已知曲线C上任意一点P到两个定点F₁（-

3

，0）和F2（

3

，0）的距离之和为4．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A、B两点，且

OA

•

.

OB

=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的一般式方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意P满足椭圆的定义，只要求出a，b，c即可；
（2）设出直线方程与椭圆方程构成方程组，消元得到一元二次方程，借助于根与系数的关系得到关于k的等式解k，得到直线方程．

解答： 解：（1）由题意得|F₁F₂|=2

3

＜4，所以点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，由

2a=4 c= 3 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，所以曲线C的方程为

x2

4

+y2=1…（5分）
（2）由题意得直线l的斜率存在，并设为k并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为y=kx-2，由

x2 4 +y2=1 y=kx-2

 得
（4k²+1）x²-16kx+12=0
∵△=（16k）²-48（4k²+1）＞0得k²＞

3

4

，
x₁+x₂=

16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

 …（8分）
又

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)而

OA

•

.

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=0 …（10分）
∴（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，由此得

12(k2+1)

4k2+1

-

32k2

4k2+1

+4=0
解得k=±2，
所以直线l方程为y=2x-2或y=-2x-2…（12分）

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的位置关系的运用，计算量较大，属于中档题．