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20.已知函数f(x)=$\frac{x+a+|x-a|}{2}$,g(x)=ax+1,其中a>0.若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,则a的取值范围是(0,1).

分析 f(x)为分段函数,做出f(x)和g(x)图象,根据图象交点个数得出a的取值范围.

解答 解:f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x,x≥a}\\{a,x<a}\end{array}\right.$,
(1)若a<0,作出f(x)和g(x)的图象如图,

显然f(x)与g(x)只有一个交点.
(2)若a=0,作出f(x)和g(x)的图象如图,

显然f(x)与g(x)只有一个交点.
(3)若a>1,作出f(x)和g(x)的图象如图,

显然f(x)与g(x)只有一个交点.
(4)若0<a<1,作出f(x)和g(x)的图象如图,

显然f(x)与g(x)有两个交点.
(5)若a=1,作出f(x)和g(x)的图象如图,

显然f(x)与g(x)只有一个交点.
综上,a的取值范围是(0,1).
故答案为(0,1).

点评 本题考查了函数图象的交点个数与分类讨论思想,正确作出函数图象是关键.

练习册系列答案
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