Question

10．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x∈[0，1]\\ x-3，x∉[0，1]\end{array}\right.$，若f[f（x）]=1成立，则x的取值集合为{x|0≤x≤1或3≤x≤4或x=7}．

Answer 1

分析 由f （x）=$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x∈[0，1]\\ x-3，x∉[0，1]\end{array}\right.$，f[f （x）]=1成立，知0≤f（x）≤1，由此能求出x的取值集合．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x∈[0，1]\\ x-3，x∉[0，1]\end{array}\right.$，即$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x∈[0，1]\\ x-3，x∈（-∞，0）∪（1，+∞）\end{array}\right.$，
f[f （x）]=1成立，
当0≤x≤1时，f（x）=1，可得f[f （x）]=1，
∴0≤x≤1．
当x∈（-∞，0）∪（1，+∞）时，f（x）=x-3，则x-3∈（-∞，-3）∪（-2，+∞）；
x-3∈（-∞，-3）时，f[f （x）]≠1，
x-3∈[0，1]，即x∈[3，4]，f（x）=1，f[f （x）]=1成立
x-3∈（1，+∞）；f（x）-3=1，解得x=7，
综上0≤x≤1或3≤x≤4或x=7．
故答案为：{x|0≤x≤1或3≤x≤4或x=7}．

点评 本题考查分段函数的函数值的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．