Question

7．已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P，Q分别在BD和SC上，并且BP：PD=1：3，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 过P作PM∥AD，交CD于M，连结QM，分别求出PM、QM，利用余弦定理求出cos∠ADS，由此利用余弦定理能求出线段PQ的长．

解答 解：如图，过P作PM∥AD，交CD于M，连结QM，
∵正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P，Q分别在BD和SC上，
BP：PD=1：3，PQ∥平面SAD，
∴MQ∥SD，
∴PM=$\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}a$，
∴QM∥SD，∴QM=$\frac{1}{4}SD$=$\frac{1}{2}a$，
∵SD∥QM，AD∥MP，∴∠PMQ=∠ADS，
∵cos∠ADS=$\frac{A{D}^{2}+S{D}^{2}-S{A}^{2}}{2×AD×SD}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-4{a}^{2}}{2×a×2a}$=$\frac{1}{4}$，
PQ²=PM²+QM²-2PM•QM•cos∠PMQ=$\frac{9}{16}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-2×\frac{3}{4}{a}^{\;}$×$\frac{1}{2}a$×$\frac{1}{4}$=$\frac{10{a}^{2}}{16}$，
∴PQ=$\frac{\sqrt{10}}{4}a$．
∴线段PQ的长为$\frac{\sqrt{10}}{4}a$．

点评 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．