Question

已知抛物线方程为y²=4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．

Answer 1

解：①设l的方程为：y=k（x﹣2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由消去
得：，，y₁y₂=﹣8
若∠AEQ=∠BEQ，则k_AE+k_BC=0
即：
y₁x₂+y₂x₁﹣m（y₁+y₂）=0
﹣2（y₁+y₂）﹣m（y₁+y₂）=0
m=﹣2
故存在m=﹣2，使得∠AEQ=∠BEQ
②设P（x₀，y₀）在抛物线上，
由抛物线的对称性，不妨设y₀＞0，则过P点的切线斜率，
切线方程为：，且（9分）
令，
∴
令，
∴
则以QN为直径的圆的圆心坐标为，半径
∴
=
∴