Question

定义全集U的子集A的特征函数为f_A（x）=

1，x∈A 0，x∈CUA

，这里?_UA表示集合A在全集U中的补集，已A⊆U，B⊆U，给出以下结论中不正确的是（　　）

A．若A?B，则对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）

B．对于任意x∈U，都有fCUA（x）=1-f_A（x）

C．对于任意x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）?f_B（x）

D．对于任意x∈U，都有f_A∪B（x）=f_A（x）?f_B（x）

Answer 1

分析：根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，可得A、B、C都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．

解答：解：由题意，可得
对于A，因为A⊆B，可得x∈A则x∈B，
∵f_A（x）=

1，x∈A 0，x∈CUA

，f_B（x）=

1，x∈B 0，x∈CUB

，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故A正确；
对于B，因为f CUA=

1，x∈CUA 0，x∈A

，
结合f_A（x）的表达式，可得f CUA=1-f_A（x），故B正确；
对于C，f_A∩B（x）=

1，x∈A∩B 0，x∈CU(A∩B)

=

1，x∈A∩B 0，x∈(CUA)∪(CUB)

=

1，x∈A 0，x∈CUA

•

1，x∈B 0，x∈CUB

=f_A（x）•f_B（x），
故C正确；
对于D，f_A∪B（x）=

1，x∈A∪B 0，x∈CU(A∪B)

当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）•f_B（x）
由此可得D不正确．
故选：D

点评：本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．