Question

已知命题p：方程ax²+2x+1=0至少有一负根；命题q：任意实数x∈R满足不等式x²+2ax+1≥0，
（1）求命题p中a的范围　
（2）若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假时，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=0时，方程ax² +2x+1=0可化为方程2x+1=0，方程存在一个负根
当a≠0时，若关于x的二次方程ax² +2x+1=0有根
则△=4-4a≥0，即a≤1
若方程ax² +2x+1=0无负根则x₁ +x₂ =-≥0，x₁•x₂ =≥0，这种情况不存在
故关于x的方程ax² +2x+1=0，至少有一个负根的充要条件是a≤1
（2）∵任意实数x∈R满足不等式x²+2ax+1≥0，
∴△=4a²-4≤0
∴-1≤a≤1
若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假时，则p、q一真一假
①p真q假，，∴a＜-1
②p假q真，，∴a不存在
综上知，a＜-1
分析：（1）首先我们要分析当a=0时，方程是否有负根，再分析当a≠0时，方程存在负根的情况，综合即可得到结论．
（2）求出命题q是真命题的条件，然后根据已知p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q必为一真一假，从而可求实数a的取值范围．
点评：此题主要考查命题的真假性问题，其中涉及到一元二次方程根的分布和判别式的应用，属于基础题目．