Question

1．与A（1，1），B（2，2）的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线有3条．

Answer 1

分析 由于k_AB=1，①设与直线AB平行且与AB的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线为y=x+b，利用$\frac{|1-1+b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得b即可得出；
②由A（1，1），B（2，2）可得线段AB的中点M$（\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，而|AM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此经过中点M且与AB垂直的直线满足要求．

解答 解：k_AB=$\frac{2-1}{2-1}$=1，
①设与直线AB平行且与AB的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线为y=x+b，
则$\frac{|1-1+b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得b=±1，可得要求的直线为：y=x±1．
②由A（1，1），B（2，2）可得线段AB的中点M$（\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，
而|AM|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此经过中点M且与AB垂直的直线满足要求，y-$\frac{3}{2}$=-$（x-\frac{3}{2}）$，化为x+y-3=0．
综上满足条件的直线有且只有3条．
故答案为：3．

点评 本题考查了相互平行及其相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．