Question

5．已知$\overrightarrow{AB}$=（-2，3，5），$\overrightarrow{AC}$=（4，1，a），$\overrightarrow{AD}$=（6，b，-2）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数a，b的值；
（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数a，b满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，由此能求出a，b．
（2）由已知求出$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=（8，b-3，-7），再由四边形ABCD的对角线互相垂直，得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，由此能求出实数a，b满足的关系式．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=（-2，3，5），$\overrightarrow{AC}$=（4，1，a），$\overrightarrow{AD}$=（6，b，-2），
四边形ABCD为平行四边形，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
∴（4，1，a）=（-2，3，5）+（6，b，-2）=（4，b+3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+3=1}\\{a=3}\end{array}\right.$，解得a=3，b=-2．
（2）∵$\overrightarrow{AB}$=（-2，3，5），$\overrightarrow{AC}$=（4，1，a），$\overrightarrow{AD}$=（6，b，-2），
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=（8，b-3，-7），
∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（4，1，a）•（8，b-3，-7）=32+b-3-7a=0，
∴b-7a+29=0．

点评 本题考查向量中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量的性质的合理运用．