Question

【题目】设奇函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是减函数且最大值为﹣5，函数g（x）= ，其中a＜ ．
（1）判断并用定义法证明函数g（x）在（﹣2，+∞）上的单调性；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[3，7]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数g（x）在（﹣2，+∞）上是减函数，

证明如下：

设﹣2＜x1＜x2，

∵g（x）=a+ ，

∴g（x2）﹣g（x1）

=（a+ ）﹣（a+ ）

=（1﹣2a） ，

∵﹣2＜x1＜x2，

∴ ＜0，

∵a＜ ，∴g（x2）＜g（x1），

∴a＜ 时，g（x）在（﹣2，+∞）递减；

（2）解：由题意得：f（x）max=f（﹣7）=﹣5，且f（x）是奇函数，

∴f（7）=5，即f（x）在区间[3，7]上的最小值是5，

由（1）得：g（x）在[3，7]上也是减函数，

∴F（x）min=f（7）+g（7）= ．

【解析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）分别求出f（x）和g（x）的最小值，求出F（x）的最小值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．