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一束光线过点M(1-2
2
,-2
2
)
射到x轴上,再反射到圆C:(x-1)2+(y+4)2=8上,
(1)当反射光线经过圆心时,求反射光线所在的直线方程的一般式;
(2)求反射点的横坐标的变化范围.
分析:(1)由题意可得:M点关于x轴的对称点为,由反射光线的反向延长线经过与圆的圆心(1,-4)可得直线的方程.
(2)当反射光线的斜率存在时,设其方程为:kx-y-k+2
2
k+2
2
=0
,当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围,由点到直线的距离公式可得k的值,再检验斜率不存在时直线也与圆相切,进而得到答案.
解答:解:(1)由题意可得:M点关于x轴的对称点为M(1-2
2
,2
2
)

因为反射光线的反向延长线经过M(1-2
2
,2
2
)
与圆的圆心(1,-4),
所以反射光线所在的直线的方程为:y+4=
2
2
+4
-2
2
(x-1),整理可得直线的一般式方程为:(1+
2
)x+y+3-
2
=0

(2)当反射光线的斜率存在时,设其方程为:y-2
2
=k(x-1+2
2
)

整理可得:kx-y-k+2
2
k+2
2
=0

由题意可得:当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围,
所以有圆心到反射光线的距离等于半径,即d=2
2
=
|k+4-k+2
2
k+2
2
|
1+k2

解得:k=-1,此时反射光线的方程为x+y-1=0,
所以反射点为(1,0).
当斜率不存在时,经检验也与圆相切,则反射点的横坐标的取值范围是[1-2
2
,1]
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系,以及直线方程的一般式与两点式,考查点到直线的距离公式等知识点,此题综合性较强属于中档题.
练习册系列答案
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