Question

5．过点（0，2）的直线L与双曲线x²-y²=2相交于不同两点E，F．若△OEF的面积不小于2$\sqrt{2}$．求直线L的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围．

解答 解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴1-k²≠0，△＞0，
∴k∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）且k≠±1．②
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则由①式得
|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$．③
当E、F在同一支上时
S_△OEF=|S_△ODF-S_△ODE|=$\frac{1}{2}$|OD|•||x₁|-|x₂||=$\frac{1}{2}$|OD|•|x₁-x₂|；
当E、F在不同支上时
S_△OEF=S_△ODF+S_△ODE=$\frac{1}{2}$|OD|•（|x₁|+|x₂|）=$\frac{1}{2}$|OD|•|x₁-x₂|．
综上得S_△OEF=$\frac{1}{2}$|OD||x₁-x₂|，于是由|OD|=2及③式，
得S_△OEF=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$．
若△OEF面积不小于2$\sqrt{2}$，则有$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$≥2$\sqrt{2}$?k²≤2，解得-$\sqrt{2}$≤k≤$\sqrt{2}$．④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为-$\sqrt{2}$≤k≤$\sqrt{2}$且k≠±1．

点评 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查不等式的解法以及综合解题能力