Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，
（1）若a=1，b=2，cosC=

1

4

，求△ABC的周长；
（2）若直线l：

x

a

+

y

b

=1恒过点D（1，4），求u=a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理，求出c，即可求△ABC的周长；
（2）直线l：

x

a

+

y

b

=1恒过点D（1，4），可得

1

a

+

4

b

=1，再利用“1”的代换，利用基本不等式，即可求u=a+b的最小值．

解答：解：（1）∵cosC=

1

4

，a=1，b=2，
∴由与余弦定理得c=

a2+b2-2abcosC

=2…（4分）
∴△ABC的周长l=a+b+c=5…（6分）
（2）∵直线l：

x

a

+

y

b

=1恒过点D（1，4），
∴

1

a

+

4

b

=1…（7分）
∴u=a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

 …（9分）
又a，b表示△ABC的两边，故a＞0，b＞0从而

b

a

＞0，

4a

b

＞0…（10分）
∴u=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9 …（12分）
当且仅当

b a = 4a b 1 a + 4 b =1

即

a=3 b=6

时取等号
∴当

a=3 b=6

时，u=a+b取得最小值9．…（13分）

点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键．