| 上海市徐汇区2011届高三下学期学习能力诊断卷（数学理）.doc |
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| | （本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。 如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求的取值范围； （2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。 
解：（1）由题意，得在线段CD：上，即， 又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK， 所以 -------------------2分 -------------------4分 所以的取值范围是。 -------------------6分 （2）由题意，得 所以-------------------8分 则，-------------------10分 因为函数在单调递减-------------------12分 所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米-------------------14分
练习册系列答案
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| 上海市徐汇区2011届高三下学期学习能力诊断卷（数学理）.doc | | | | | （本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。 如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求的取值范围； （2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。 
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| 上海市徐汇区2011届高三下学期学习能力诊断卷（数学理）.doc | | | | | （本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；  写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？
如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点， 试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）
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| 上海市徐汇区2011届高三下学期学习能力诊断卷（数学理）.doc | | | | | （本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。  如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
求异面直线与所成角的大小； （结果用反三角函数值表示） （2）求点到平面的距离。
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| 上海市徐汇区2011届高三下学期学习能力诊断卷（数学理）.doc | | | | | （本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。 设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。 求数列的通项公式； 试确定实数的值，使得数列为等差数列； 当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
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| 上海市徐汇区2011届高三下学期学习能力诊断卷（数学理）.doc | | | | | （本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。  如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
求异面直线与所成角的大小； （结果用反三角函数值表示） （2）求点到平面的距离。
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