Question

给出下列命题：
①直线x=a与函数y=f（x）的图象至少有两个公共点；
②函数y=x^-2在（0，+∞）上是单调递减函数；
③幂函数的图象一定经过坐标原点；
④函数f（x）=a^x-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）．
⑤设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f^-1（x）-1的图象一定过点（2，0）．
其中，真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，利用函数的概念（自变量与函数值一一对应）可判断①；
②，利用幂函数的性质可知y=x^-2在（0，+∞）上是单调递减函数，可判断②；
③，幂函数y=x^-1的图象不经过坐标原点，可判断③；
④，利用指数函数的图象与性质，可判断④；
⑤，依题意，可知函数y=f^-1（x）的图象过点（2，1），从而可判断⑤．

解答： 解：对于①，直线x=a与函数y=f（x）的图象至多有1个公共点；，故①错误；
对于②，由于-2＜0，由幂函数的性质可知，函数y=x^-2在（0，+∞）上是单调递减函数，故②正确；
对于③，幂函数y=x^-1的图象不经过坐标原点，故③错误；
对于④，函数f（x）=a^x-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1），故④正确；
对于⑤，设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f^-1（x）的图象过点（2，1），y=f^-1（x）-1的图象一定过点（2，0），故⑤正确．
综上所述，真命题的序号为②④⑤．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断及应用，综合考查函数的概念、幂函数的单调性质、指数函数的图象与性质及反函数的概念及应用，属于中档题．