Question

设a_n是集合2^s+2^t|0≤s＜t，s，t∈Z中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…，将数列a_n各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：
（1）写出这个三角形数表的第五行的各数；
（2）求a₁₀₀（可用2^s+2^t的形式表示）；
（3）设b_n（n∈N*）是这个三角形数表第n行各数的和，求数列b_n的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）从左到右依次是2⁵+2⁰=33，2⁵+2¹=34，2⁵+2²=36，2⁵+2³=40，2⁵+2⁴=48．
（2）第n行有n个数，设a₁₀₀在第n行，则

n(n-1)

2

+1≤100≤

n(n+1)

2

，由此能求出a₁₀₀．
（3）依题意，b_n=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）=（n+1）2ⁿ-1，然后由错位相减法能得到前n项和S_n．

解答：解：（1）从左到右依次是2⁵+2⁰=33，
2⁵+2¹=34，
2⁵+2²=36，
2⁵+2³=40，
2⁵+2⁴=48．
（2）第n行有n个数，
设a₁₀₀在第n行，
则

n(n-1)

2

+1≤100≤

n(n+1)

2

，
解得n=14，
100-

n(n-1)

2

=9，
即a₁₀₀是第14行第9个数，a₁₀₀=2¹⁴+2⁸．
（3）依题意，b_n=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）
=（n+1）2ⁿ-1，S_n=b₁+b₂+b_n-1+b_n
=（2×2¹-1）+（3×2²-1）+…+（n×2^n-1-1）+[（n+1）2ⁿ-1]
=[2×2¹+3×2²++n×2^n-1+（n+1）2ⁿ]-n，2S_n=[2×2²+3×2³++n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]-2n，两式相减，并由等比数列前n项和公式得S_n=-2×2¹-[2²+2³+…+2ⁿ]+（n+1）2ⁿ⁺¹-n
=n×（2ⁿ⁺¹-1）．

点评：（1）是将数表的排列“规律”具体运用到某一行；（2）是探讨a_n和s、t的联系；（3）从已知数列中分离或错位相减构造出等差（等比）数列，再运用等差（等比）数列的性质求解．