Question

【题目】已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=1， 时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若不等式m2﹣2km+1+b+ac≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1， 时， ，

f（x）的图象与x轴有两个不同交点，

∵ ，设另一个根为x2，则 ，∴x2=1，

则 f（x）＜0的解集为

（2）解：f（x）的图象与x轴有两个交点，

∵f（c）=0，设另一个根为x2，则 ，

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则 ，

∴f（x）＜0的解集为

（3）解：由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为

这三交点为顶点的三角形的面积为 ，

∴ 故

（4）解：∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，

又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）

要使m2﹣2km≥0，对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则

当m＞0时，m≥（2k）max=2

当m＜0时，m≤（2k）min=﹣2

当m=0时，02≥2k0，对所有k∈[﹣1，1]恒成立

从而实数m的取值范围为 m≤﹣2或m=0或m≥2

【解析】（1）当a=1， c = 时,f（x）与x轴有两个交点，由此能求出f（x）＜0的解集，（2）f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，再判断出两根的大小可得f（x）＜0的解集，（3）由（2）问中，得出f（x）与坐标轴的交点分别为 ( c ， 0 ) ， ( ， 0 ) ， ( 0 ， c ),算出三角形的面积，由此求得a的取值范围，（4）f（c）=0，知ac2+bc+c=0，由c＞0，知ac+b+1=0，由此能求出实数m的取值范围.
【考点精析】利用二次函数在闭区间上的最值和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，当时，；当时在上递减，当时，；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．