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如图,菱形ABCD中,∠DAB=60°,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD,PO=AO=,点E在PD上,PE:ED=3:1.

(Ⅰ)证明:PD上平面置EAC;

(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值;

(Ⅲ)求点B到平面PDC的距离.

解法一:(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD,∴OD为PD在平面ABCD内的射影.

又ABCD为菱形,∴AC⊥OD,

∴AC⊥PD,即PD⊥AC

在菱形ABCD中,∵∠DAB=60°,

∴OD=AO·cot60°=1

在Rt△POD中,PD==2,由PE=ED=3:1,

得DE=PD=,又∠PDO=60°

∴OE2=OD2+DE2-2OD·DEcos60°=

∴OE2+DE2=OD2

∴∠OED=90°,即PD⊥OE

∴PD⊥平面EAC

(Ⅱ)由(1)知PD⊥EA,PD⊥EC,则之AEC为二面角A-PD-C的平面角

tan∠AEO==2,易知OE为AC的垂直平分线,所以∠AEC=2∠AEO,

∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO=

=

(Ⅲ)由O为BD的中点,知点B到平面PDC的距离等于点O到平面PDC距离的2倍,由(Ⅰ)知,平面OEC⊥平面PDC,作OH⊥CE,垂足为H,则OH⊥平面PDC,在Rt△OEC中,

∠EOC=90°,OC=,OE=,EC=

∴OH=

所以点B到平面PDC的距离为

解法二:建立如图所示的坐标系O-xyz,其中A(0,,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,).

(Ⅰ)由PE:ED=3:1,知E()

=(1,0,),=(),=(0,2,0),

=0

∴PD⊥OE,PD⊥AC,∴PD⊥平面EAC

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥以,PD⊥EG,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角

=(),=(

∴cos∠AEC=cos<>=

(Ⅲ)由O为BD中点知,点B到平面PDC的距离为点O到平面PDC距离的2倍

=(,0,),

cos∠OEC=cos<>=

所以点B到平面PDC的距离

d=2||sin∠OEC=2×


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