(Ⅰ)证明:PD上平面置EAC;
(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值;
(Ⅲ)求点B到平面PDC的距离.
解法一:(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD,∴OD为PD在平面ABCD内的射影.
又ABCD为菱形,∴AC⊥OD,
∴AC⊥PD,即PD⊥AC
在菱形ABCD中,∵∠DAB=60°,
∴OD=AO·cot60°=1
在Rt△POD中,PD==2,由PE=ED=3:1,
得DE=PD=,又∠PDO=60°
∴OE2=OD2+DE2-2OD·DEcos60°=
∴OE2+DE2=OD2,
∴∠OED=90°,即PD⊥OE
∴PD⊥平面EAC
(Ⅱ)由(1)知PD⊥EA,PD⊥EC,则之AEC为二面角A-PD-C的平面角
tan∠AEO==2,易知OE为AC的垂直平分线,所以∠AEC=2∠AEO,
∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO=
=
(Ⅲ)由O为BD的中点,知点B到平面PDC的距离等于点O到平面PDC距离的2倍,由(Ⅰ)知,平面OEC⊥平面PDC,作OH⊥CE,垂足为H,则OH⊥平面PDC,在Rt△OEC中,
∠EOC=90°,OC=,OE=,EC=,
∴OH=
所以点B到平面PDC的距离为
解法二:建立如图所示的坐标系O-xyz,其中A(0,,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,).
(Ⅰ)由PE:ED=3:1,知E()
∵=(1,0,),=(),=(0,2,0),
∴=0
∴PD⊥OE,PD⊥AC,∴PD⊥平面EAC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥以,PD⊥EG,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角
∵=(),=()
∴cos∠AEC=cos<,>=
(Ⅲ)由O为BD中点知,点B到平面PDC的距离为点O到平面PDC距离的2倍
又=(,0,),
cos∠OEC=cos<,>=
所以点B到平面PDC的距离
d=2||sin∠OEC=2×
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省烟台市高三上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,菱形ABCD中,,平面ABCD,平面ABCD,
(1)求证:平面BDE;
(2)求锐二面角的大小.
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科目:高中数学 来源:2012年上海市闸北区高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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