Question

某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价x（元）与相应的日销量y（个）作了统计，其数据如表

x	16	20	24	28
y	42	30	18	6

（1）能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系？若能，写出函数解析式；（提示：可根据表格中的数据描点后观察，再从一次函数，二次函数，指数函数，对数函数等中选择）
（2）设经营此商品的日销售利润为P（元），求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知数据作图，观察x，y的关系，可以看到这些点基本上位于一条直线上，令y=kx+b，里“待定系数法”即可得到k，b．再验证其余两个点即可；
（2）利用（1）可得：利润P=（x-12）•（-3x+90），利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）由已知数据作图，观察x，y的关系，可以看到这些点基本上位于一条直线上，
令y=kx+b，
由（16，42），（20，30）可得

42=16k+b    ① 30=20k+b   ②

由②-①得-12=4k，∴k=-3，代入②得b=90．
∴y=-3x+90，
当x=24时，y=18；当x=28时，y=6．
对照数据，可以看到y=-3x+90即为所求解析式；
（2）利用（1）可得：
利润P=（x-12）•（-3x+90）=-3x²+126x-1 080=-3（x-21）²+243．
∵二次函数开口向下，∴当x=21时，P最大为243．
即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．

点评：本题考查了函数模型的选择、一次函数和二次函数的单调性，属于难题．