练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（　　）
    分析：当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a∈（2，3]时和当a∈[-3，-2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围．
    解答：解：当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
    则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（2分）
    则当a∈（2，3]时，由f（x）=
    x2+(2-a)x，x≥a
    -x2+(2+a)x，x＜a
    ，
    得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x，对称轴x=
    a-2
    2
    ＜a，
    则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
    x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x，对称轴x=
    a+2
    2
    ＜a，
    则f（x）在x∈（-∞，
    a+2
    2
    ]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，
    (a+2)2
    4
    ]，
    f（x）在x∈[
    a+2
    2
    ，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，
    (a+2)2
    4
    ]；
    由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
    则2ta∈（2a，
    (a+2)2
    4
    ），
    即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，
    (a+2)2
    8a
    ）即可，
    令g（a）=
    (a+2)2
    8a
    =
    1
    8
    （a+
    4
    a
    +4），
    只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
    ∴（g（a））max=g（3）=
    25
    24
    ，
    故实数t的取值范围为（1，
    25
    24
    ）；…（15分）
    同理可求当a∈[-3，-2）时，t的取值范围为（1，
    25
    24
    ）；
    综上所述，实数t的取值范围为（1，
    25
    24
    ）．…（17分）
    故选B．
    点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
    D、f(x)=2sin(2πx+
    π
    3
    )(x∈R)

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：深圳一模 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案