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3.如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,AP=λAM,求
(1)λ的值;
(2)用$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{CP}$.

分析 (1)根据M是BC的中点,AN=2NC,便可得到$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AN}$,这样由B,P,N三点共线便可知$\frac{λ}{2}+\frac{3λ}{4}=1$,从而求出λ的值;
(2)根据向量加法的几何意义,$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$,根据上面求得的λ,可以用$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}$,然后进行向量的数乘运算便可用$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{CP}$.

解答 解:(1)根据条件,$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AM}=\frac{λ}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$=$\frac{λ}{2}(\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AN})=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AN}$;
∵B,P,N三点共线;
∴$\frac{λ}{2}+\frac{3λ}{4}=1$;
∴$λ=\frac{4}{5}$;
(2)根据(1),$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$
=$-\overrightarrow{AC}+\frac{2}{5}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$.

点评 考查向量加法的平行四边形法则,向量数乘、向量加法的几何意义,以及向量的数乘运算.

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