Question

若实数x，y满足约束条件

x+y-5≤0 2x+y-6≥0 x+2y-6≥0

，则目标函数z=

x2+y2

xy

的最大值与最小值之和为（　　）

• A、6
• B、

  25

  4

• C、

  15

  2

• D、5

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，设z=

x2+y2

xy

，再利用z的几何意义求最值，z=

x2+y2

xy

表示的是区域内的点与点P连线的斜率．故 z的最值问题即为直线的斜率的最小值．只需求出直线PQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值列出等式求出a即可．

解答：解：作出可行域如图阴影部分所示：
目标函数 z=

x2+y2

xy

═

1

y x

+ 

y

x

≥2
当且仅当

y

x

=1时，z最小，最小值为：2．
又其中

y

x

可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率．
其最大值为：4，最小值为：

1

4

，
因此 z=

x2+y2

xy

的最大值为

17

4

，
则目标函数z=

x2+y2

xy

的最大值与最小值之和为2+

17

4

=

25

4

，
故选B．

点评：巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．