Question

19．若4^x-5×2^x+6≤0，则函数f（x）=2^x-2^-x的值域是[$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$]．

Answer 1

分析 用换元法，设t=2^x，求出t的取值范围，再把函数f（x）化为f（t），求f（t）的值域即可．

解答 解：∵4^x-5×2^x+6≤0，
∴（2^x）²-5×2^x+6≤0，
设t=2^x，则原不等式化为t²-5t+6≤0，
解得2≤t≤3；
又函数f（x）=2^x-2^-x=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∴f（t）=t-$\frac{1}{t}$（t∈[2，3]），
∴f′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在t∈[2，3]上是增函数，
∴f（2）≤f（t）≤f（3），
即$\frac{3}{2}$≤f（t）≤$\frac{8}{3}$；
∴f（x）的值域是[$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$]．
故答案为：[$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$]．

点评 本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了求函数值域的应用问题，是综合性题目．