Question

【题目】已知函数f（x）=lnx。

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求证：当x>0时，f（x）≥l-；

（3）若x-1>alnx对任意x>1恒成立，求实数a的最大值。

Answer 1

【答案】(1) 切线方程为y=x-1;（2）见解析；(3) 实数a的最大值为1.

【解析】试题分析：（1）求导得切线斜率，由点斜式可得切线方程；

（2）令g（x）=f（x）-（1-）=lnx-l+，求导，得函数在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，进而得g（x）≥g（1）=0，从而得证；

（3）设h（x）=x-1-alnx（x≥1），求导得h'（x）=1-=，a≤1时，a>1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．

试题解析：

（1）f'（x）=，f'（1）=1，又f（1）=0，所以切线方程为y=x-1.

（2）由题意知x>0，令g（x）=f（x）-（1-）=lnx-l+.

g'（x）=-=，

令g'（x）==0，解得x=1。

易知当x>l时，g'（x）>0，易知当0<x<l时，g'（x）<0.

即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增.

所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0，

即g（x）=f（x）-（1-）≥0，即f（x）≥（1-）.

（3）设h（x）=x-1-alnx（x≥1），依题意，对于任意x>l，h（x）>0恒成立.

h'（x）=1-=，

a≤l时，h'（x）>0，h（x）在[1，+）上单调递增，

当x>l时，h（x）>h（1）=0，满足题意.

a>1时，随x变化，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（1，a）	a	（a，+）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值	↗

h（x）在（1，a）上单调递减，所以h（a）<h（1）=0，

即当a>1时，总存在h（a）<0，不合题意.

综上所述，实数a的最大值为1.