Question

6．设命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+4}$=1表示的图象是双曲线；命题q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+4}$=1表示的图象是双曲线，可得（1-2m）（m+4）＜0，解得m范围；命题q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，可得△＞0，解得m范围．由于p∨q为真，￢p为真，可得p为假命题，q为真命题，即可得出．

解答 解：命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+4}$=1表示的图象是双曲线，则（1-2m）（m+4）＜0，解得$m＞\frac{1}{2}$，或m＜-4；
命题q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，则△=4m²-12（m+6）＞0，解得m＞6，或m＜-3．
∵p∨q为真，￢p为真，
∴p为假命题，q为真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4≤m≤\frac{1}{2}}\\{m＜-3或m＞6}\end{array}\right.$，
解得-4≤m＜-3．
∴实数m的取值范围是[-4，-3）．

点评 本题考查了双曲线的标准方程、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．