Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14（m≥2，且m∈N*）．
（1）求m的值；
（2）若数列{bn}满足 =logabn（n∈N*），求数列{（an+6）bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14，

∴am=Sm﹣Sm﹣1=4，am+1+am+2=Sm+2﹣Sm=14．

设{an}的公差为d，则2am+3d=14，∴d=2．

∵Sm= =0，∴a1=﹣am=﹣4．

∴am=a1+（m﹣1）d=﹣4+2（m﹣1）=4，

∴m=5．

（2）解：由（1）可得an=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6．

∵ =logabn，即n﹣3=logabn，

∴bn=an﹣3，

∴（an+6）bn=2nan﹣3，

设数列{（an+6）bn}的前n项和为Tn，

则Tn=2a﹣2+4a﹣1+6a0+8a+…+2nan﹣3，①

∴aTn=2a﹣1+4a0+6a+8a2+…+2nan﹣2，②

①﹣②得：

（1﹣a）Tn=2a﹣2+2a﹣1+2a0+2a+…+2an﹣3﹣2nan﹣2，

= ﹣2nan﹣2

= ﹣ ，

∴Tn= ﹣ ．

【解析】（1）计算am ， am+1+am+2 ， 利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；（2）求出an ， bn ， 得出数列{（an+6）bn}的通项公式，利用错位相减法计算．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对等差数列的性质的理解，了解在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．