已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:相交于B、C,当直线l的斜率是
时,
.
(Ⅰ)求抛物线G的方程;
(Ⅱ)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析试题分析:该题考察抛物线的方程、韦达定理、直线和抛物线的位置关系、向量等基础知识,考察数形结合、综合分析和解决问题能力、基本运算能力,(Ⅰ)求直线的方程:
,和抛物线
联立,得
设,代入 向量式
中,得
,然后联立
可得∴
,∴抛物线方程为
;(Ⅱ)设直线
的方程:
,
,线段
的中点
,将
与
联立,可得
,因为直线与抛物线交与两点
,所以
,可得
或
,再表示中点
,进而可求线段
的中垂线方程,令
,可得其在
轴的截距
,求其值域即可.
试题解析:(1)设,由已知k1=
时,l方程为
即x=2y-4.
由得
∴
又∵
∴ 5分
由p>0得∴
,即抛物线方程为:
.
(2)设l:,BC中点坐标为
由得:
①
∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.
∴BC的中垂线方程为y?2k2?4k=?(x?2k)
∴BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2
对于方程①由△=16k2+64k>0得:或
.
∴ 12分
考点:1、抛物线的标准方程;2、韦达定理;3、直线方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右焦点分别是
,离心率
,
为椭圆上任一点,且
的最大面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设斜率为的直线
交椭圆
于
两点,且以
为直径的圆恒过原点
,若实数
满足条件
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆过点
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,直线
、
分别交直线
于
、
两点,线段
的中点为
.记直线
的斜率为
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知△ABC中, 点A,B的坐标分别为A(-,0),B(
,0)点C在x轴上方.
(Ⅰ)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程:
(Ⅱ)过点P(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线的焦点为F
过点
的直线交抛物线于A
,B
两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N
(1)求的值;
(2)记直线MN的斜率为,直线AB的斜率为
证明:
为定值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为
,且经过点
,直线
交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求的取值范围;,
(2)若直线不经过点
,求证:直线
的斜率互为相反数.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的长轴两端点分别为
,
是椭圆上的动点,以
为一边在
轴下方作矩形
,使
,
交
于点
,
交
于点
.
(Ⅰ)如图(1),若,且
为椭圆上顶点时,
的面积为12,点
到直线
的距离为
,求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图(2),若,试证明:
成等比数列.
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