Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₅，a₁₁，a₈成等差数列．
（1）求公比q的值；
（2）当公比q≠1时，求证：S₅，S₁₁，S₈成等差数列．

Answer 1

分析：（1）由已知得2a₁₁=a₅+a₈，即2a1q10=a1q4+a1q7，由此能求出公比q的值．
（2）当q≠1时，2S11-(S5+S8)=

2a1(1-q11)

1-q

-[

a1(1-q5)

1-q

+

a1(1-q8)

1-q

]=

a1

1-q

(2-2q11-2+q5+q8)=

a1q5

1-q

(1+q3-2q6)，由此能证明S₅，S₁₁，S₈成等差数列．

解答：解：（1）由已知得2a₁₁=a₅+a₈，
即2a1q10=a1q4+a1q7，
由a₁≠0，q≠0，得2q⁶=1+q³，
即2q⁶-q³-1=0，…（3分）
∴（q³-1）（2q³+1）=0，
∴q3=1或q3=-

1

2

，
∴q=1或q=-

3 4

2

．…（6分）
（2）当q≠1时，2S11-(S5+S8)=

2a1(1-q11)

1-q

-[

a1(1-q5)

1-q

+

a1(1-q8)

1-q

]
=

a1

1-q

(2-2q11-2+q5+q8)=

a1q5

1-q

(1+q3-2q6)，…（9分）
由（1）知，2q⁶=1+q³，
∴2S₁₁-（S₅+S₈）=0，
∴S₁₁-S₅=S₈-S₁₁，
即S₅，S₁₁，S₈成等差数列．…（12分）

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．