Question

已知双曲线C的方程为-=1，若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5．
（I）求m的值；
（II）设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于P₁，P₂，且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0）．当时，求||||（O为坐标原点）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由直线x-my-3=0可知：直线恒过定点焦点F₂（3，0）．于是直线与双曲线的右支相交，设两点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由双曲线的第二定义可得：，即，同理．于是|AB|=|AF₂|+|BF₂|=，由题意可得：，由直线过焦点F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，此时直线垂直于x轴，即可得出m的值．
（II）利用线段的定比分点坐标公式即可得出点P的坐标用P₁，P₂的坐标表示，代入双曲线的方程即可得出x₁x₂，进而得出||||的最值．
解答：解：（I）由双曲线C的方程为-=1可得a=2，，
∴c=3，．
左右焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0）．
由直线x-my-3=0可知：直线恒过定点焦点F₂（3，0）．
于是直线与双曲线的右支相交，设两点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由双曲线的第二定义可得：，即，同理．
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=，由题意可得：，∴|x₁+x₂|=6，
由直线过焦点F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，
此时直线垂直于x轴，∴m=0．
（II）双曲线C的渐近线方程分别为l₁：，l₂：．
设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0）．
则，，，．
由点P（x，y）在双曲线上，∴，
化简得，又=，同理可得：，
∴，
令u（x）=，
又u（λ）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，而λ∈，
∴u（λ）_min=u（1）=4，u（λ）_max==．
于是：的最大值为，最小值为9．
点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、线段的定比分点坐标公式、函数的单调性等是解题的关键．