Question

（2012•蓝山县模拟）已知f （x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），…（n∈N）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n f （a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=3时，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）lgf （a_n），问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f （x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．代入a_n，求出a_n的表达式，利用等差数列的定义，证明数列{a_n}是等差数列；
（2）通过b_n=a_n f （a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=3时，求出S_n的表达式，利用错位相减法求出S_n；
（3）利用c_n=f（a_n）lgf （a_n），要使c_n≥c_n+1对一切n∈N^*成立，推出m，n的关系式，通过m＞1，0＜m＜1结合一切n∈N^*，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项，推出m的取值范围；

解答：解：（1）由题意f （a_n）=m²•m^n-1，即m^a_n=mⁿ⁺¹．
∴a_n=n+1，∴a_n+1-a_n=1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由题意b_n=a_nf （a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
当m=3时，b_n=（n+1）•3ⁿ⁺¹，∴S_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+（n+1）•3ⁿ⁺¹…①，
①式两端同乘以3得，3S_n=2•3³+3•3⁴+4•3⁵+…+（n+1）•3ⁿ⁺²…②
②-①并整理得，
2S_n=-2•3²-3³-3⁴-3⁵-…-3ⁿ⁺¹+（n+1）•3ⁿ⁺²=-3²-（3²+3³+3⁴+3⁵+…+3ⁿ⁺¹）+（n+1）•3ⁿ⁺²
=-32-

32(1-3n)

1-3

+（n+1）•3ⁿ⁺²=-9+

9

2

 （1-3ⁿ）+（n+1）•3ⁿ⁺²=（n+

1

2

）3ⁿ⁺²-

9

2

．
∴S_n=

1

4

（2n+1）3ⁿ⁺²-

9

4

．
（3）由题意c_n=f （a_n）•lg f （a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n≥c_n+1对一切n∈N*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm≥（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，对一切n∈N^*成立，
当m＞1时，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤

n+1

n+2

对一切n∈N^*成立，
因为

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值为

2

3

，所以m≤

2

3

，与m＞1不符合，即此种情况不存在．
②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥

n+1

n+2

对一切n∈N^*成立，所以

2

3

≤m＜1．
综上，当

2

3

≤m＜1时，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项．

点评：本题考查数列的定义的应用，错位相减法，数列与函数相结合，恒成立问题的综合应用，考查分析问题解决问题，转化思想的应用，知识面广，运算量大．