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已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+2x.
(1)求f(0)值;
(2)求此函数在R上的解析式;
(3)若对任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(k-2t2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
分析:(1)利用奇函数的特性,定义在R的奇函数必过原点,易得f(0)值;
(2)当x<0,则-x>0,根据函数为奇函数f(-x)=-f(x)及当x>0时,f(x)=x2+2x,可得函数在x<0时的解析式,进而得到函数在R上的解析式;
(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数的图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数k的取值范围.
解答:解:(1)因为f(x)为R上奇函数,所以f(0)=0.
(2)设x<0,则-x>0,
则f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=-f(x),
∴x<0时,f(x)=-x2+2x,
f(x)=
x2+2x,x≥0
-x2+2x,x<0

(3)∵f(x)=x2+2x在(0,+∞)上为增函数,
且f(0)=0,f(x)为R上奇函数
∴f(x)在R上为增函数,
∴原不等式可变形为:t2-2t<2t2-k,
对任意t∈R恒成立,
∴k<(t2-2t)min=-1
即实数k的取值范围为(-∞,-1)
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合,其中熟练掌握函数奇偶性的性质,及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键.
练习册系列答案
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)证明函数a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函数;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
对所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求实数x=1的取值范围.

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系
a>b>c
a>b>c

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