Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²+2x．
（1）求f（0）值；
（2）求此函数在R上的解析式；
（3）若对任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的特性，定义在R的奇函数必过原点，易得f（0）值；
（2）当x＜0，则-x＞0，根据函数为奇函数f（-x）=-f（x）及当x＞0时，f（x）=x²+2x，可得函数在x＜0时的解析式，进而得到函数在R上的解析式；
（3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合二次函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数k的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）为R上奇函数，所以f（0）=0．
（2）设x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x=-f（x），
∴x＜0时，f（x）=-x²+2x，
∴f(x)=

x2+2x，x≥0 -x2+2x，x＜0

．
（3）∵f（x）=x²+2x在（0，+∞）上为增函数，
且f（0）=0，f（x）为R上奇函数
∴f（x）在R上为增函数，
∴原不等式可变形为：t²-2t＜2t²-k，
对任意t∈R恒成立，
∴k＜（t²-2t）_min=-1
即实数k的取值范围为（-∞，-1）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键．