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【题目】如图,过椭圆Eab0)的左焦点F1x轴的垂线交椭圆EPQ两点,点AB是椭圆E的顶点,且ABOPF2为右焦点,△PF2Q的周长为8

1)求椭圆E的方程;

2)过点F1作直线l与椭圆E交于CD两点,若△OCD的面积为,求直线l的方程.

【答案】(1);(2)

【解析】

1)由题意,三角形的周长求出的值,再由ABOP,直线的斜率相等及acb之间的关系求出椭圆的方程;
2)设直线l的方程与椭圆联立,求出两根之和及两根之积,进而求出两根之差的绝对值,求出面积,再由椭圆求出直线方程.

1)由题意得:4a8a2,且a2b2+c2b22

所以椭圆的方程:

2)显然直线l的斜率不为零,

l的方程为:xmyCxy),Dx'y'),

联立与椭圆的方程得:(2+m2y22my10y+y'yy'

SOCD|OF1||yCyD|2

∴由题意得:,整理得:5m434m270

解得m27,所以m

所以直线l的方程为:xy

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【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间和零点;

(2)若恒成立,求的取值范围.

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【题目】已知函数

(Ⅰ)当时,讨论函数的单调区间;

(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.

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【题目】已知函数f(x)=ex(x﹣a)2+4.

(1)若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,求a的取值范围;

(2)若x≥0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

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【题目】2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点处记录了大年初三上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示,其中时间段9:20940记作区间9:4010:00记作10:0010:20记作10:2010:40记作.比方:1004分,记作时刻64.

1)估计这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);

2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记9:2010:00之间通过的车辆数,求的分布列与数学期望;

3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布,其中可用这600辆车在9:2010:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:4610:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).

参考数据:若,则.

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【题目】某中学为了组建一支业余足球队,在高一年级随机选取50名男生测量身高,发现被测男生的身高全部在之间,将测量结果按如下方式分成六组:第1,第2,第6,如图是按上述分组得到的频率分布直方图,以频率近似概率.

1)若学校要从中选1名男生担任足球队长,求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率;

2)试估计该校高一年级全体男生身高的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)与中位数;

3)现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员,求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.

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【题目】已知椭圆在左、右焦点分别为,上顶点为点,若是面积为的等边三角形.

1)求椭圆的标准方程;

2)已知是椭圆上的两点,且,求使的面积最大时直线的方程(为坐标原点).

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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,过垂直点,作垂直点,平面点,点上一动点,且.

1)试证明不论点在何位置,都有

2)求的最小值;

3)设平面与平面的交线为,求证:.

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【题目】已知函数.

(1)若在定义域上不单调,求的取值范围;

(2)设分别是的极大值和极小值,且,求的取值范围.

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