【题目】如图,过椭圆E:(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P,Q两点,点A,B是椭圆E的顶点,且AB∥OP,F2为右焦点,△PF2Q的周长为8.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F1作直线l与椭圆E交于C,D两点,若△OCD的面积为,求直线l的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由题意,三角形的周长求出的值,再由AB∥OP,直线的斜率相等及a,c,b之间的关系求出椭圆的方程;
(2)设直线l的方程与椭圆联立,求出两根之和及两根之积,进而求出两根之差的绝对值,求出面积,再由椭圆求出直线方程.
(1)由题意得:4a=8,a=2,且,a2=b2+c2,b2=2,
所以椭圆的方程:;
(2)显然直线l的斜率不为零,
设l的方程为:x=my,C(x,y),D(x',y'),
联立与椭圆的方程得:(2+m2)y2﹣2my﹣1=0,y+y',yy',
S△OCD|OF1||yC﹣yD|2,
∴由题意得:,整理得:5m4﹣34m2﹣7=0,
解得m2=7,所以m,
所以直线l的方程为:xy.
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【题目】已知函数f(x)=ex(x﹣a)2+4.
(1)若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若x≥0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
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【题目】2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示,其中时间段9:20~9:40记作区间,9:40~10:00记作,10:00~10:20记作,10:20~10:40记作.比方:10点04分,记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记为9:20~10:00之间通过的车辆数,求的分布列与数学期望;
(3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布,其中可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).
参考数据:若,则,,.
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【题目】某中学为了组建一支业余足球队,在高一年级随机选取50名男生测量身高,发现被测男生的身高全部在到之间,将测量结果按如下方式分成六组:第1组,第2组,…,第6组,如图是按上述分组得到的频率分布直方图,以频率近似概率.
(1)若学校要从中选1名男生担任足球队长,求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率;
(2)试估计该校高一年级全体男生身高的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)与中位数;
(3)现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员,求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
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【题目】已知椭圆:在左、右焦点分别为,,上顶点为点,若是面积为的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知,是椭圆上的两点,且,求使的面积最大时直线的方程(为坐标原点).
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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,过作垂直交于点,作垂直交于点,平面交于点,点为上一动点,且,.
(1)试证明不论点在何位置,都有;
(2)求的最小值;
(3)设平面与平面的交线为,求证:.
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