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函数f(x)=ax+
b
x
(a,b∈R),下列命题:
①当a>0,b>0时,对函数f(x)图象上任意一点A,图象上存在唯一的点B,使得tan∠AOB=
1
a
(O是坐标原点);
②当ab≠0时,函数f(x)图象上任意一点的切线与直线y=ax及y轴围成的三角形面积是定值.
正确的是:
 
考点:函数的图象
专题:函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:对于①不妨令y=x+
1
x
,此时a=1,然后由x+
1
x
-x=
1
x
,当x→+∞时,
1
x
→0,可知y=x是函数y=x+
1
x
的渐近线;由此进一步可以判断该命题为假;
对于②先表示出任意一点处切线的方程,然后求出该切线与y=ax,y轴的交点,则三角形的三个交点可以求出,面积可求.
解答: 解:对于①:令f(x)=x+
1
x
,则再令g(x)=x,则f(x)-g(x)=
1
x

当x→+∞时,
1
x
→0,
∴g(x)=x是函数y=x+
1
x
的渐近线,做出函数f(x)的图象如下:

此时可以看出,在函数f(x)图象上任取两点A,B,∠AOB<
π
4
或∠AOB>
4
π,
∴tan∠AOB>1或-1<tan∠AOB<0,即此时不存在这样的两点A,B,使得tan∠AOB=
1
a
=1,故①为假命题;
对于②,由题意设切点为(x0,ax0+
b
x0
),y′=a-
b
x2

∴切线方程为y-(ax0+
b
x0
)=(a-
b
x02
)(x-x0),
直线y=ax,联立得交点为(2x0,2ax0),
令x=0得切线与y轴交点为(0,
2b
x0
),原点为(0,0),
∴围成的三角形面积为
1
2
2b
x0
•2ax0=2ab是定值,
∴②是真命题.
故答案为:②.
点评:本题考查了函数的图象,考查了导数在研究函数的极值、切线中的应用,体现了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,有一定难度.
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已知f(x)的图象如图,则f(x)的解析式为
 

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如图,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数的和,an,1,an,2…an,n(n=1,2,…)分别表示第n行的第一个数,第二个数,…第n个数,则an,2(n≥2且?∈N)的表达式(  )
A、an,2=
n2-n
2
B、an,2=
n2+n-2
2
C、an,2=
n2+n-4
2
D、an,2=
n2-n+2
2

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在一次研究性学习中,老师给出函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R),四个小组的同学在研究此函数时,讨论交流后分别得到一下四个命题:
①函数f(x)的值域是(-1,1);
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
③若规定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意的n∈N*恒成立;
④若实数a,b满足f(a-1)+f(b)=0,则a+b等于1.
你认为上述四个命题中正确的序号有
 
.(填写出正确的序号)

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已知函数f(x)=2alnx-x2+1
(1)若a=1,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若a>0,求函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值;
(3)若f(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立,求a的最大值.

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已知函数f(x)=[2log4(2x)-(2a+1)]•log2x+3,x∈[
32
,8]
(1)若f(x)的最小值记为h(a),求h(a)的解析式;
(2)是否存在实数m,n同时满足以下条件:
①log3m>log3n>1;
②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出m,n的值,若不存在,说明理由.

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设函数f(x)=k(x-
1
x
)-lnx,k∈R.
(Ⅰ)若f(x)与x轴相切于点(1,f(1),求f(1))的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在其定义域内为单调函数,求k的取值范围.

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已知函数f(x)=
A
2
sinx+
3
A
2
cosx,且f(
π
6
)=3.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若f(θ)-f(-θ)=
3
,θ∈(0,
π
2
),求f(
π
3
-θ)的值.

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