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已知函数f(x)=-x3ax24(aR)

(1)若函数yf(x)的图象在点P(1f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)[1,1]上的最小值;

(2)若存在x0(0,+∞),使f(x0)0,求a的取值范围.

 

(1) 最小值为f(0)=-4 (2) (3,+∞)

【解析】(1)f′(x)=-3x22ax.

根据题意得,f′(1)tan132a1,即a2.

f(x)=-x32x24,则f′(x)=-3x24x.

f′(x)0,得x10x2.

x

1

(1,0)

0

(0,1)

1

f′(x)

 

0

 

f(x)

1

?

4

?

3

x[1,1]时,f(x)的最小值为f(0)=-4.

(2)f′(x)=-3x.

a≤0,则当x>0时,f′(x)<0f(x)(0,+∞)上单调递减.

f(0)=-4,则当x0时,f(x)<-4.

a≤0时,不存在x00,使f(x0)0.

a0,则当0x时,f′(x)0

x时,f′(x)0.

从而f(x)上单调递增,在上单调递减.

x(0,+∞)时,f(x)maxf=-44.

根据题意得,40,即a327.a3.

综上可知,a的取值范围是(3,+∞)

 

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