Question

18．已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC，DC的延长线交PQ于点Q．
（1）求证：AC²=CQ•AB；
（2）若AQ=2AP，AB=$\sqrt{2}$，BP=2，求QD．

Answer 1

分析 （1）证明△ACB∽△CQA，可以证明AC²=CQ•AB；
（2）先求出PC，再利用切割线定理求出QA，QD．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，∴∠PAB=∠AQC，
又PQ与圆O相切于点A，
∴∠PAB=∠ACB，
∵AQ为切线，∴∠QAC=∠CBA，
∴△ACB∽△CQA，∴$\frac{AC}{CQ}$=$\frac{AB}{AC}$，即AC²=CQ•AB.5分
（2）解：∵AB∥CD，AQ=2AP，
∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{AP}{PQ}$=$\frac{AB}{QC}$=$\frac{1}{3}$，
由AB=$\sqrt{2}$，BP=2，得QC=3$\sqrt{2}$，PC=6，
∵AP为圆O的切线，∴AP²=PB•PC=12，
∴AP=2$\sqrt{3}$，∴QA=4$\sqrt{3}$，
又∵AQ为圆O的切线，∴AQ²=QC•QD，∴QD=8$\sqrt{2}$.10分．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判断与运用，考查切割线定理，难度中等．