Question

已知定点F（0，1）和定直线l：y=-1，过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C
（1）求动圆的圆心C的轨迹W的方程；
（2）设点P是W上的一动点，求PF的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设圆心C（x，y），利用条件过定点F与定直线l相切的动圆建立方程，可求轨迹方程．
（2）设中点M（x，y），利用与P，F的关系，通过代入法建立方程，从而可求M的轨迹方程．

解答：解：（1）设C（x，y），因为圆C定点F与定直线l相切，所以|CF|=|x+1|，即圆心C到定点和直线y=-1的距离相等．
轨迹抛物线的定义可知，C的轨迹是以F为焦点，y=-1为准线的抛物线，设抛物线方程为x²=2py，其中

p

2

=1，
所以p=2，即抛物线方程为x²=4y．
（2）设PF的中点M（x，y），P（x₁，y₁），则由中点坐标公式可得

x= x1 2 y= y1+1 2

，即

x1=2x y1=2y-1

，
代入抛物线方程x²=4y，
得（2x）²=4（2y-1），即x²=2y-1，
所以PF的中点M的轨迹方程为x²=2y-1．

点评：本题的考点是轨迹方程的求法，通过抛物线的定义可确定轨迹方程，利用代入法求动点轨迹也是一种基本的方法，要求熟练掌握．