Question

14．已知二次函数y=x²-2ax+3，x∈[-1，1]，设最大值为g（a），最小值为h（a）．
（1）求g（a）．
（2）求h（a）．
（3）设a∈[0，1]，若对任意的g（a），h（a），不等式g（a）log₂m+2h（a）≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分当a≤0时和当a＞0时两种情况，结合二次函数的图象和性质，可得g（a）的表达式；
（2）分当a≤-1时，当-1＜a＜1时和当当a≥1时三种情况，结合二次函数的图象和性质，可得h（a）的表达式；
（3）结合（1）（2）的结论，可得log₂m≤$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$，a∈[0，1]，恒成立，利用构造法，求出v（a）=$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$的最小值，结合对数的运算性质，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²-2ax+3的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，x∈[-1，1]，
当a≤0时，函数在x=1时取最大值，此时g（a）=-2a+4，
当a＞0时，函数在x=-1时取最大值，此时g（a）=2a+4，
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-2a+4，a≤0\\ 2a+4，a＞0\end{array}\right.$；
（2）当a≤-1时，函数在x=-1时取最小值，此时h（a）=2a+4，
当-1＜a＜1时，函数在x=a时取最小值，此时h（a）=-a²+3，
当a≥1时，函数在x=1时取最小值，此时h（a）=-2a+4，
综上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}2a+4，a≤-1\\-{a}^{2}+3，-1＜a＜1\\-2a+4，a≥1\end{array}\right.$，
（3）设a∈[0，1]，则g（a）=2a+4，h（a）=-a²+3，
不等式g（a）log₂m+2h（a）≤0可化为：（2a+4）log₂m+2（-a²+3）≤0，
即log₂m≤$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$，a∈[0，1]，恒成立，
令v（a）=$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$，则v′（a）=$\frac{{a}^{2}+4a+3}{（a+2）^{2}}$＞0恒成立，
故当a=0时，v（a）=$\frac{{a}^{2}-3}{a+2}$取最小值-$\frac{3}{2}$，
故log₂m≤-$\frac{3}{2}$，
故m∈（0，$\frac{\root{3}{2}}{2}$]

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．