练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    已知椭圆数学公式，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．
    （1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
    （2）求△AOB面积S的最小值．

    解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
    ①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，
    ∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
    ∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0
    ∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=
    ∴原点O到直线的距离为d=|x1|=
    ②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
    ∴x1+x2=-，x1x2=
    ∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
    ∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）-km×+m2=0
    ∴5m2=4（k2+1）
    ∴原点O到直线的距离为d==
    综上，点O到直线AB的距离为定值；
    （2）由（1）可知，在直角△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=，设∠OAH=θ，则∠BOH=θ
    ∴|OA|=，|OB|=
    ∴|OA||OB|=
    ∴2θ=，即时，|OA||OB|取得最小值为
    ∴△AOB面积S的最小值为
    分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论；
    （2）利用三角函数表示出|OA|，|OB|，进而可求|OA||OB|的最小值，从而可求△AOB面积S的最小值．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•怀化三模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点(
    		3
    ，
    		3
    2
    )    ，离心率e=
    1
    2
    ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N(
    x0
    a
    ，
    y0
    b
    )    称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，椭圆的短轴端点与双曲线
    y2
    2
    -x2    =1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
    （Ⅰ）求椭C的方程；
    （Ⅱ）求
    OA
    •
    OB
    的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，F1，F2为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，S△DEF2=1-
    		3
    2
    ．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（
    x0
    a
    ，
    y0
    b
    ）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•浦东新区三模）已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
    （1）当m=1时，求椭圆C的方程；
    （2）在（1）的条件下，直线l过焦点F2，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程；
    （3）由抛物线弧y2=4mx(0≤x≤
    2m
    3
    )    和椭圆弧
    x2
    4m2
    +
    y2
    3m2
    =1    (
    2m
    3
    ≤x≤2m)
    （m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2013年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知椭圆过点，离心率，若点M（x，y）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案