Question

9．已知椭圆C：x²+$\frac{{y}^{2}}{81}$=1．
（1）问与椭圆C有相同焦点的椭圆有多少个？写出其中两个椭圆方程；
（2）与椭圆C有相同焦点且经过点P（3，-3）的椭圆有几个？写出它的方程．

Answer 1

分析 （1）与椭圆C有相同焦点的椭圆有无穷多个，满足c²=80即可．
（2）与椭圆C有相同焦点的椭圆方程可设为：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{80+m}$=1（m＞0），把点P（3，-3）代入，解得m即可得出．

解答 解：（1）与椭圆C有相同焦点的椭圆有无穷多个，例如：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{82}$=1，$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{83}=1$；
（2）与椭圆C有相同焦点的椭圆方程可设为：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{80+m}$=1（m＞0），
把点P（3，-3）代入可得：$\frac{9}{m}+\frac{9}{80+m}$=1，解得m=10．
其方程为：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{90}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．