Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（2）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值；
（3）若M，N分别为直线AA₁，B₁C上动点，求MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用点到平面的距离公式求距离．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．
（3）利用向量法求线段的长度．

解答：解：（1）连接AO，因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，AO=

AB2-BO2

=1，在△AOA₁中，A₁O=2，
在△BOA₁中，A1B=2

2

，则S△A1AB=

6

．又S_△CAB=2．
设点C到平面A₁ABB₁的距离为h，
则由VC-A1AB=VA1-ABC得，

1

3

S△A1AB•h=

1

3

S△CAB•A1O．从而h=

2

3

6

．…（4分）
（2）如图所示，分别以OA，OB，OA₁所在的直线 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（0，-2，0），A₁（0.0，2），B（0，2，0），B₁（-1，2，2），C₁（-1，-2，2）．
设平面BCC₁B₁的法向量

n

=(x，y，z)，
又

BB1

=(-1 ，0， 2)，

CB

=(0，4 ， 0)．
由

n • BB1 =0 n • CB =0

，得

-x+2z=0 4y=0

，
令z=1，得x=2，y=0，即

n

=(2，0，1)．
设平面ABC₁的法向量

m

=(a，b，c)，又

AB

=(-1 ，2， 0)，

AC1

=(-2，-2， 2)．
由

m • AB =0 m • AC1 =0

，得

-a+2b=0 -2a-2b+2c=0

，令b=1，得a=2，c=3，即

m

=(2，1，3)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m |•| n|

=

70

10

，…（7分）
由图形观察可知，二面角A-BC₁-B₁为钝角，
所以二面角A-BC₁-B₁的余弦值是-

70

10

．…（9分）
（3）方法1．在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，因为AA₁∥BB₁，得OE⊥BB₁．
因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA₁O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB₁C₁C．从而OE⊥B₁C
在△AOA₁中，OE=

2 5

5

为异面直线AA₁，B₁C的距离，即为MN的最小值．…（14分）
方法2．设向量

n

1=(x1，y1，z1)，且

n

1⊥

AA1

，

n

1⊥

B1C．

∵

AA1

=(-1 ，0， 2)，

B1C

=(1 ，-4， -2)．
∴

n

1•

AA1

=-x1+2z1=0，

n

1•

B1C=

x1-4y1-2z1=0．
令z₁=1，得x₁=2，y₁=0，即

n

1=(2，0，1)．
∵

AC

=(-1，-2， 0)．
所以异面直线AA₁，B₁C的距离d=|

AC • n1

| n1|

|=

2

5

5

，即为MN的最小值．…（14分）

点评：本题主要考查利用向量法求二面角的大小和线段长度问题，要求熟练掌握相关的定理和公式．